@Nguyễn Việt Lâm

https://hoc24.vn/id/2782086

Ta có đánh giá \(\frac{b+2}{\left(b+1\right)\left(b+5\right)}\ge\frac{3}{4\left(b+2\right)}\)

Thật vậy, BĐT trên tương đương:

\(4\left(b+2\right)^2\ge3\left(b+1\right)\left(b+5\right)\)

\(\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+1\right)\left(b+2\right)}{\left(b+1\right)\left(b+5\right)}\ge\frac{3\left(a+1\right)}{4\left(b+2\right)}\)

Tương tự và cộng lại: \(P\ge\frac{3}{4}\left(\frac{a+1}{b+2}+\frac{b+1}{c+2}+\frac{c+1}{a+2}\right)\)

\(P\ge\frac{3}{4}\left(\frac{\left(a+1\right)^2}{ab+2a+b+2}+\frac{\left(b+1\right)^2}{bc+2b+c+2}+\frac{\left(c+1\right)^2}{ca+2c+a+2}\right)\)

\(P\ge\frac{3}{4}.\frac{\left(a+b+c+3\right)^2}{ab+bc+ca+3a+3b+3c+6}\)

\(P\ge\frac{3}{4}.\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+6a+6b+6c+9}{ab+bc+ca+3a+3b+3c+6}\)

\(P\ge\frac{3}{4}.\frac{2ab+2bc+2ca+6a+6b+6c+12}{ab+bc+ca+3a+3b+3c+6}=\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

bài này chứng minh bài toán phụ, khá là phức tạp, trình bày ra chắc chết quá

bài này mình thấy tren mạng đăng lên đó, có kết quả nhưng ko copy được

Bài này bạn xem lại trong chtt ấy! Mình giải bài này rồi, giải bằng miệng cho nhanh.

>=8 nha

Tại sao lại bằng 8

 \(A=\frac{a^3+b^3-\left(a^2+b^2\right)}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=\frac{a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\)

(chơi 3 cách luôn cho máu :3)

Cách 1, Áp dụng Svacxơ  đc

\(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}=\frac{t^2}{t-2}\left(t=a+b>2\right)\)

Ta luôn có \(\frac{t^2}{t-2}\ge8\left(1\right)\)thật vậy

\(\left(1\right)\Leftrightarrow t^2\ge8t-16\Leftrightarrow t^2-8t+16\ge0\Leftrightarrow\left(t-4\right)^2\ge0\left(True\right)\)

=> Đpcm

Cách 2, \(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge2\sqrt{\frac{a^2.b^2}{\left(b-1\right)\left(a-1\right)}}=2.\frac{a}{\sqrt{a-1}}.\frac{b}{\sqrt{b-1}}\)

Ta đi c/m \(\frac{a}{\sqrt{a-1}}\ge2\left(#\right)\)thật vậy

\(\left(#\right)\Leftrightarrow a\ge2\sqrt{a-1}\Leftrightarrow a^2\ge4a-4\Leftrightarrow a^2-4a+4\ge0\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2\ge0\left(true\right)\)

=> (#) đúng 

tương tự\(\frac{b}{\sqrt{b-1}}\ge2\)

\(\Rightarrow A\ge2.2.2=8\)(Đpcm)

Cách 3 , \(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}=\frac{\left(a-1+1\right)^2}{b-1}+\frac{\left(b-1+1\right)^2}{a-1}\)

                 \(=\frac{\left(a-1\right)^2+2\left(a-1\right)+1}{b-1}+\frac{\left(b-1\right)^2+2\left(b-1\right)+1}{a-1}\)

               \(=\frac{\left(a-1\right)^2}{b-1}+\frac{2\left(a-1\right)}{b-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{\left(b-1\right)^2}{a-1}+\frac{2\left(b-1\right)}{a-1}+\frac{1}{a-1}\)

                 \(=\left[\frac{\left(a-1\right)^2}{b-1}+\frac{\left(b-1\right)^2}{a-1}\right]+2\left(\frac{a-1}{b-1}+\frac{b-1}{a-1}\right)+\left(\frac{1}{b-1}+\frac{1}{a-1}\right)\)

                 \(\ge2\sqrt{\frac{\left(a-1\right)^2.\left(b-1\right)^2}{\left(b-1\right)\left(a-1\right)}}+2.2\sqrt{\frac{a-1}{b-1}.\frac{b-1}{a-1}}+\frac{2}{\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}}\)

                    \(=2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}+\frac{2}{\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}}+4\)

                     \(\ge2\sqrt{2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}.\frac{2}{\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}}}+4\)

                      \(=2.2+4=8\)

Dấu "=" xảy ra tại a = b = 2 

\(\frac{1}{a+2}+\frac{3}{b+4}+\frac{2}{c+3}\le1\Leftrightarrow x+y+z\le1\)

\(Q=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{3}{y}-3\right)\left(\frac{2}{z}-2\right)=\frac{6\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}{xyz}\ge\frac{6\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{xyz}\ge6.2.2.2=48\)

Min Q = 48 khi  x =y=z = 1/3 => a =1 ; b =5; c =3

Câu 2 thế y = 1 - x rồi quy đồng như bình thường là ra bn nhé